Gödel, Tarski y el Día Mundial de la Lógica

Posiblemente, se trata de los dos lógicos más influyentes en el desarrollo de la disciplina durante el siglo XX.

Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906, en Brünn (Brno), entonces parte del Imperio austrohúngaro (hoy parte de Chequia) y murió en Princeton, Estados Unidos, el 14 de enero de 1978. Su obra trata no solo problemas relacionados con los fundamentos de las matemáticas, por ejemplo, en On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems (1931) echa por tierra la pretensión logicista (Russell, Frege) de fundamentar toda la matemática en la lógica, asimismo, en The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (1940) presenta una prueba de la consistencia del axioma de elección en la teoría de conjuntos, sino que también propuso una prueba ontológica de la existencia de Dios basándose en lógica modal; aunque la consistencia de los axiomas fue objeto de debate, en 2013 los investigadores computacionales Chirstoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel Paleo (Formalization, Mechanization and Automation of Gödel's Proof of God's Existence) demostraron que la axiomática de la prueba es consistente.

Aunque su trabajo es mucho más vasto de lo aquí presentado, es reconocido sobre todo por los llamados teoremas de limitación o de incompletud de Gödel, los cuales señalan: (i) Cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta, (ii) En toda teoría aritmética recursiva consistente T, la fórmula “T es consistente” no es un teorema. Es decir, dada una teoría recursiva T, esta no puede garantizar simultáneamente su consistencia y su completitud, y, si T es consistente, dicha consistencia no puede probarse haciendo solamente uso de T.

Por su parte, Alfred Tarski nació en Varsovia, Polonia, el 14 de enero de 1902 y murió el 26 de octubre de 1983 en Berkeley, California, Estados Unidos. Su obra está relacionada con diversos problemas de lógica-matemática, A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry (1948), Ordinal Algebras (1956), A Formalization of Set Theory Without Variables (1987). Aunque son sus investigaciones sobre la verdad las que —posiblemente— han gozado de mayor divulgación. En ese sentido destacan: The Concept of Truth in Formalized Languages (publicado en alemán en 1936, aunque la investigación es de 1932), donde Tarski muestra que (i) no es posible una definición absoluta del concepto verdad, (ii) no es posible una definición coherente de la verdad para los lenguajes naturales y (iii) toda definición aceptable de verdad tiene que ser materialmente adecuada y formalmente correcta. Finalmente, en The Concept of Truth and the Foundations of Semantics (1944) se hace una presentación informal de las ideas fundamentales de la publicación original.

Dada la enorme influencia que ambos han ejercido a través de su obra, no solo en la lógica, sino también en la matemática y la filosofía, y considerando el nacimiento de uno y el fallecimiento del otro, la Unesco ha instituido, desde 2019, la conmemoración de cada 14 de enero como el Día Mundial de la Lógica, entre otras razones para “mejorar la comprensión pública de la lógica y sus implicaciones para la ciencia, la tecnología y la innovación”.

Este año, por tercera ocasión, profesores de la Universidad de Panamá asociados al Grupo de Investigación en Lógica y Epistemología (Grile-UP) estarán conmemorando dicha fecha, iniciando las actividades académicas del año 2023, relacionadas con la difusión de dos disciplinas bastante ignoradas en nuestro medio.